Jika \( A = \begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \) di mana B adalah transpose dari matriks A, maka \( x^2+(x+y)+(xy)+y^2 = \cdots \)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(SPMB 2006 (Regional III))
Pembahasan:
Dari soal kita ketahui bahwa matriks B merupakan transpose dari matriks B, atau \(B = A^T\), sehingga berlaku:
\begin{aligned} B = A^T \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}x \\[8pt] -2y & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+y & x \\[8pt] -1 & x-y \end{pmatrix}^T \\[8pt] \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}x \\[8pt] -2y & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+y & -1 \\[8pt] x & x-y \end{pmatrix} \\[8pt] \frac{1}{2}x = -1 \Leftrightarrow x &= -2 \\[8pt] -2y=x \Leftrightarrow -2y &=-2 \\[8pt] y &= 1 \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} x^2+(x+y)+(xy)+y^2 &= (-2)^2+(-2+1)+(-2 \cdot 1) + 1^2 \\[8pt] &= 4+(-1)+(-2)+1 \\[8pt] &= 4-1-2+1 \\[8pt] &= 2 \end{aligned}
Jawaban B.